Ibu bapanya Abdul Aziz Udin (Abdul Aziz Podo) dan Marsinah Djamil, yang berhijrah dari Silungkang , Sumatra Barat..Marsinah dari Rembau , Negeri Sembilan. Isterinya Puan Sri Faizah Mohd Tahir dan mereka mempunyai dua anak. Puan Sri Faizah pernah menjawat jawatan Ketua Setiausaha Kementerian Pembangunan Wanita, Keluarga dan Masyarakat

Amirsham lulusan Universiti Malaya jurusan ekonomi (1973). Beliau bekerja sebagai akauntan (1973-1976) di firma Hanafiah Raslan Mohamad , Bank Bumiputera (sekarang CIMB Bank). Ketika itu pengerusi Bank Bumiputera ialah Datuk Raslan Abdullah iaitu bapa kepada penulis Karim Raslan.

Pada 1977 menyertai Maybank sebagai pengurus pinjaman Mayban Finance Corp dan menanjak sebagai pengarah eksekutif (1993) dan pengarah urusan (1994) dan ketua pegawai eksekutif (CEO) pada 2002.

Amirsham rapat dengan pengerusi Maybank ,Tan Sri Mohamed Basir Ahmad iaitu suami kepada Tan Sri Rafidah Aziz.

Amirsham menerima gelaran Datuk dari Yang Dipertuan Agung ke-10, Tuanku Jaafar Tuanku Abdul Rahman dan gelaran Tan Sri dari Yang Dipertuan Agung ke-13 , Sultan Mizan Zainal Abidin.Beliau menerima Anugerah Presiden 2009 dari Institut Akauntan Awam Malaysia.